经典固结理论

太沙基一维固结理论

太沙基固结理论是土力学中第一个理论化的固结理论，该理论基于一维单向渗流模型，其中孔隙水的渗流满足达西定律，此时流体是牛顿流体，太沙基固结理论是针对饱和土体建立的固结理论。

基本假设以及含义如下：

• 土体是均匀、饱和的。均匀指研究对象充满整个空间，且分布均匀；饱和指土体是饱和的，即土骨架之间的孔隙全部被水充满，是一个两相体。
• 满足小变形。小变形假设是弹性力学的基本假设之一，小变形意味着可以用变形后的几何形状来代替变形前的形状，这是模型能够进行建立的基础。
• 土颗粒以及水不可被压缩。这一个假设与土体饱和假设的结合，使得微元体的质量守恒定律可以等价为水流连续性原理。
• 渗流满足达西定律，且土体的渗透系数在整个过程中保持不变。达西定律可以对速度进行表达，渗透系数的不变，可以减小未知数数量。
• 对象受到的总应力保持不变。这个假设使得有效应力原理中，孔压与有效应力两者之间是一种此消彼长的关系，因为总应力不变，有效应力的变化幅度等于孔压的变化幅度。
• 模型是单向渗流、单向压缩变形。限制在竖向发生渗流，并且土体发生的压缩仅在竖向，因此体积的改变仅仅是因为微元体$dz$减小引起的。这个假设很重要。

固结控制方程的建立

很多教材中，这一部分的推导太模糊，很多都是都是直接给出结论，而模型建立过程中很多细节处往往让人感到困惑。一个合理的推导对于理解渗流固结原理很重要。

基于上述的假设，太沙基一维渗流固模型中，土体是饱和的，并且土颗粒和水不能被压缩，那么自然而然可以认为，微元体的体积变化完全是由于、也只能是孔隙中的水流出引起的，即土体体积的变化大小与水流的净流出量相等，这样的话，在$\mathrm{d}t$时间内，微元体体积为$V$，它随时间$t$有关，这样的话体积关于时间的导数表示的是单位时间体积的变化量。对于水流来说，单向渗流模型使得微元体只在上下面发生渗流，利用泰勒展开可以确定出净速度，即单位时间水流的长度，为了得到体积（流量）还要乘以面积（面积为1）。时间都是相同的可以约去，得到：

$$ \frac{\partial V}{\partial t} \cdot = \frac{\partial v_z}{\partial z} \mathrm{d}z \tag{1} $$

太沙基模型中，要求土颗粒不被压缩($V_s$不会变化)，那么说明土体的体积$V$改变就是因为孔隙体积$V_v$的改变，只不过饱和土体中，孔隙中全部充满了水。依据土体的基本物理性质有：

$$ V = V_s + V_v \tag{2} $$

引入孔隙比e后，可以表示为：$V = V_s + V_s \cdot e $，这样式（1）中左侧，单位时间体积的变化量为：

$$ \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (V_s + V_s e)\\ = \frac{\partial V_s}{\partial t} + \frac{\partial V_s}{\partial t} e + \frac{\partial e}{\partial t}V_s \tag{3} $$

因为在基本假设中，认为土体的颗粒体积不会发生变化，在整个过程中是一个常数。所以式（3）变为：

$$ 0 + 0 \cdot e + \frac{\partial e}{\partial t} V_s \tag{4} $$

因为$V_s = \frac{V}{1 + e}$,所以$\frac{\partial V}{\partial t}$可以用孔隙比$e$来表示；并且对于微元体来说，$dx = 1$,$dy = 1$，所以微元体体积V为$\mathrm{d}z$，得到

$$ \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial e}{\partial t} \frac{1}{1 + e} \mathrm{d}z \tag{5} $$

这样，式(1)表示为：

$$ \frac{\partial e}{\partial t} \frac{1}{1 + e} = \frac{\partial v_z}{\partial z} \tag{6} $$

因为孔隙水的流动满足达西定律，且仅在竖向发生渗流，那么速度$v_z$为：

$$ v_z = k \cdot i = - \frac{\partial h}{\partial z} k \tag{7} $$

由此，得到：

$$ \frac{\partial e}{\partial t} \frac{1}{1 + e} = - \frac{\partial^2 h}{\partial z^2} k \tag{8} $$

为了引入孔压函数，右侧可以利用水头与水的重度得到，左侧为了引入孔压必须进行一些变换。首先，从$e-p$曲线上，我们定义了压缩系数$\alpha_s$，这个参数的意义表示但为荷载的变化引起的土体孔隙比的变化大小，它是$e-p$曲线的斜率，因此$\partial e$可以用$\alpha_s \cdot \sigma'$来表示，而有效应力与孔压之间是此消彼长的关系，假设条件中的总应力不变的使得这个关系是绝对成立的，就这一块来说，大致可以表示为：$\partial e = \alpha_s \partial \sigma'= \alpha_s (-\partial u)$，得到：

$$ \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\alpha_s}{1 + e} = \frac{\partial ^ 2 u}{\partial z ^ 2} \frac{k}{\gamma_w} \tag{9} $$

其中：

$$ c_v = \frac{k (1 + e)}{\alpha_s \gamma_w} \tag{10} $$

单向渗流固结方程为：

$$ c_v \frac{\partial ^ 2 u}{\partial z^2} = \frac{\partial u}{\partial t} \tag{11} $$

这里对于太沙基固结理论的推导没有应用体积应变$\epsilon_v$来进行，因为它的引入使得推导过程不是很容易理解。不论是从什么样的参数来进行推导，渗流固结这个物理过程的本质是不变的。方程的建立是基于“孔隙水的流的体积就是土体微元体减小的体积”，在这个思路的基础上，结合假设条件，将土体体积$V$先华为孔隙率$e$，然后依据弹性变形假设，更具此时孔隙比与有效应力之间的关系。当然最为关键的是，太沙基的渗流固结原理中假设渗流固结整个过程中总应力是不变的，这一假设使得有效应力的变化幅度等于孔压的变化幅度，两者是一个此消彼长的关系，由此就得到了一维的固结方程。

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