对于有限元法或者偏微分方程的求解的学习来说，变分法（或者是泛函分析）的学习是必不可少的一个环节，亦是FEM的理论基础，更是PDE求解的一个有力工具；事实上，对于变分法学习的意义，可能并不在于去计算分析泛函问题，更大地意义在于如何用它去求解PDE，而所涉及到的泛函的知识都已被包含在这个过程中。作为一个非数学、力学专业的人，对于该类知识的学习必定不可能过度地深入和投入，对于这一块的认识，更多的是自我的认识与理解，难免会有不专业的表述。学习变分法，以下几个最基本的概念是要必须清楚的，单纯地从数学推导的角度来学习过于枯燥，而理解本质的意义对于变分法的学习更为重要；以下几个概念尤为基础和重要。

什么是泛函

在学习泛函之前，认识或者说是唯一掌握、使用的是函数，函数为我们提供了一个描述量与量之间关系的工具，其数学本质实数集合到实数集合的映射。

从映射的角度来看

这里存在三个集合，第一为自变量的集合$A$，它自然是一个实数域的集合；第二个是函数集合$B$，这个集合包含着这一种函数$\phi(x)$的各个情况和形式，比如，二次函数$ax^2 + b*x +c$，这个函数集合包含着各种系数取值下的函数形式；第三个是实数域的集合$C$，其与$A$性质一致。从映射的角度来看什么是泛函，集合$B$中所有的函数，它们的定义域都是取值于集合$A$，$B$经过一定的准则，如积分运算，这样会得到一个数，而这个数是在集合$C$中的，这就是一个完整的映射，这个过程描述了一个本质的映射就是从函数集到实数域的映射，这个映射就是泛函。

函数的内积

内积的概念，对于向量来说是一个很基础的概念，向量中的内积（也叫做点乘）反映了两个向量的夹角大小，当两者正交时，向量的内积为0,。对于函数来说，函数内积是一个很重要的概念，它一直贯穿于整个变分法过程中。通常，这样描述两个函数的内积，在某一个区间$[a, b]$上，两个函数的内积定义为：

$$ \int_a ^b f_1(x) \cdot f_2(x) \mathrm{d}x $$

事实上，函数的内积就是一个泛函，这里函数集合中的函数为$f_1(x)f_2(x)$，经过积分运算，得到一个数。此外，另一种形式的函数内积使用的更为普遍，就是加权内积，其只是为要进行内积计算的函数前各加一个权重数。

泛函虽然是一个新的概念，但是对于我们大部分来说，它其实很常见，积分运算就是一个泛函；我们遇到的绝大多数的泛函都是由积分运算组成的。只不过在之前仅仅将其看做是一个积分，作为泛函来说，泛函本身并不重要，重要的是构造出这个泛函形式的背后的物理意义以及所要达到什么样的目的，才是学习的核心。

变分问题

泛函是函数到实数域的一个映射，也就是函数的函数。通常，我们并不会毫无意义的去确定或者是求解一个积分的值；在一定的条件下，对某一物理问题进行了数学描述，而这个问题一般会得到：什么条件下泛函获得最小、最大值。古典变分问题中的最速降线问题就是一个例子，我们最终构造出的这个积分形式就是泛函，而泛函分析的目的是确定什么函数形式下这个泛函取得极值，这个问题我们称之为变分问题。

变分(计算)

通常泛函分析也会被称为变分法，事实上后者可能更为多见。那么究竟什么是变分？这也是认识什么变分法的之前必须要了解的。

变分实际上就是一种运算，通俗地来说，可以当做微分运算来理解，而且两者的运算法则基本一致。但是本质上区别在于，变分运算是针对泛函而言的，微分是针对函数而言的，两者针对的映射过程是有区别的，对泛函来说，泛函的变分指的是函数的自变量不发生变化，仅仅使得函数的值产生一个微小变化$\Delta y$，由此引发的泛函值的变化，这个变化记做$\delta I$。

这里一个重要的概念就是，将泛函与函数进行类比，函数取得极值需要看其导数的性质，自然对泛函来说，当泛函变分为0时，泛函会得到极值。

什么是变分法

本质上来说，变分法是将问题的原始微分方程描述转化为一个等效的变分问题的方法。通过变分法可以寻找到PDE的等效积分形式，这一方法本质的物理意义在于，将一个边值问题转化了求泛函极值的问题，这一转化思路为PDE的求解提供了一个新的途径。

在古典变分问题中，为了求解泛函极值，通过欧拉方程将泛函变为微分方程的形式，通过求解微分方程的解，从而完成问题的解决。但是，求解PDE方程是一个困难的任务，多数情况下，不能得到解析解。因而利用变分法找到PDE对应的等效泛函，然后解决这个变分问题就可以，这样的思路极大扩展了PDE的求解方式，也为PDE的有限元法打下了基础。

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