拉普拉斯方程的解析求解过程

控制方程为：

$$ \frac{\partial ^ 2 u}{\partial x ^ 2} + \frac{\partial ^ 2 u}{\partial y ^ 2} = 0 $$

场函数$u(x,y)$是关于空间坐标$x,y$的二元函数。在矩形区域$\Omega$内，在边界$\partial \Omega$上满足：

$$ u(0, y) = 0 \quad u(a, y) = 0 \quad u(x, 0) = 0 \quad u(x, b) = f(x) $$

在边界条件的描述下，寻求这个方程的解答或场函数分布的问题，就是边值问题，也称为Dirichlet问题。在这样的简单边界条件以及规则的几何区域情况下，是可以获得方程的解析解的，采用分离变量法可以完成求解。

进行解的分离，得到：

$$ u(x, y) = X(x) \cdot Y(y) $$

代入到控制方程中，得到：

$$ X'' Y + X Y'' = 0 $$

同时除以$XY$，得到

$$ \frac{X''}{X} = - \frac{Y''}{Y} $$

由于等号左端是关于$X$的式子，而右侧是关于 $Y$的式子，那么只有两端均等于同一个常数，等式才算是成立。这里设为$-\lambda$，即

$$ \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = - \lambda $$

从而可以分离出两个常微分方程，一个关于$X$，一个关于$Y$。

$$ X'' + \lambda X = 0 $$

$$ Y'' - \lambda Y = 0 $$

此时，边界条件分别退化为：

$$ X(0) = 0 \quad X(a) = 0 \quad Y(0) = 0 \quad Y(b) = 0 $$

对于第一个方程，关于$X$的方程，其对应的特征方程为$r^2 + \lambda = 0$，当$\lambda$为0时，$X$就是一个一次函数，$c_1x + c_2$，代入边界条件后，有$c_2=0$，$c_1=0$，此时就没有任何意义了。当$\lambda < 0$，也会同样得到这样的结论。因此，只有当$\lambda > 0$的情况下，方程才是有意义的。此时，特征根$r_{1,2} = \pm \sqrt{\lambda} i$，通解为：

$$ X(x) = C_1 \cos(\sqrt{\lambda} x) + C_2 \sin(\sqrt{\lambda}x) $$

引入边界条件后，得到$C_1 = 0$；引入右侧边界条件后有：

$$ X(a) = C_2 \sin(\sqrt{\lambda} a) = 0 $$

由此得到本征方程$\sqrt{\lambda} a = n \pi$，$n=1,2,3,....$，得到对应的本征值为：

$$ \lambda_n = (\frac{n \pi}{a})^2, \quad n=1,2,3,... $$

对应的本征函数为：

$$ X(x) = \sin(\frac{n \pi}{a} x) $$

此时，对关于$Y$的ODE来说，有：

$$ Y'' - \frac{n^2 \pi^2}{a^2} Y = 0 $$

此时，对应的特征值为$r_{1,2} =\pm \frac{n \pi}{a}$对应的通解为：

$$ Y(y) = C_3 \cosh(\frac{n \pi}{a} y) + C_4 \sinh(\frac{n \pi}{a} y) $$

引入边界条件$Y(0) = 0$，得到$C_3 = 0$。得到对应的本征函数为：

$$ Y(y) = \sinh(\frac{n \pi}{a} y) $$

基于上述的解答，可以获得$u(x, y)$为：

$$ u_n(x, y) = A_n \sin(\frac{n \pi}{a} x) \cdot \sinh(\frac{n \pi}{a} y) $$

那么完整的解答为叠加后的结果，

$$ u(x, y) = \sum_{n= 1} ^ {\infty} A_n \sin(\frac{n \pi}{a} x) \sinh(\frac{n \pi}{a} y) $$

代入上边界条件$u(x, b) = 0$，得到：

$$ u(x, b) =f(x) = \sum_{n=1} ^{\infty} A_n \sin(\frac{n \pi}{a} x) \sinh(\frac{n \pi}{a} b) $$

$f(x)$可以进行正弦级数展开，得到：

$$ f(x) = \sum_{n = 1} ^{\infty} B_n \sin(\frac{n \pi}{a} x) $$

其中正弦开展系数为：

$$ B_n = \frac{2}{a} \int_{0} ^{a} f(x) \sin(\frac{n \pi}{a} x) \mathrm{d} x $$

对比，得到系数$A_n$为：

$$ A_n = \frac{2}{a \sinh(\frac{n \pi}{a} b)} \int_{0} ^{a} f(x) \sin(\frac{n \pi}{a} x) \mathrm{d} x $$

$$ u(x, y) = \sum_{n= 1} ^ {\infty} \frac{2}{a \sinh(\frac{n \pi}{a} b)} \int_{0} ^{a} f(x) \sin(\frac{n \pi}{a} x) \mathrm{d} x \cdot \sin(\frac{n \pi}{a} x) \sinh(\frac{n \pi}{a} y) $$

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