形函数

采用有限元法进行微分方程的数值计算时，单元内部会采用形函数进行插值，以节点值去表示出单元内部任意位置处的函数值。以一维问题为例，如果场函数为$u(x)$，那么在划分单元后，每一个单元内部值采用本单元两个节点处的值去表示，单元内两个端点分别为$x_1,x_2$，节点处场函数值记作$u_1, u_2$，注意到这里的1和2，是节点的局部坐标，因为一维问题中，这里采用简单的两点单元，左侧记作1，右侧为2。从基函数插值的角度来看，希望去寻求出一个插值基函数，利用叠加原理近似表示出内部的函数值，即

$$ u^e(x) = N_1(x)u^e_1 + N_2(x)u^e_2 \\ \Rightarrow u^e(x) = \sum_{i=1}^{2}N_i(x) \cdot u^e_i $$

仅从数学的角度来看，形函数$N(x)$实际就是一个权重函数，利用$u_1$和$u_2$的值，以及他们各自位置处的权重来近似评估之间部分的值。另一个角度来看，近似的目的在于利用两个端点的值插值出内部值，插值表示两个端点是必须要满足函数的，而两个端点则需要两个未知数待求，本质上是一个一次函数多项式的确定问题，依据这个解释得到：

$$ u^e_1 = a + bx^e_1\\ u^e_2 = a + bx^e_2 $$

求解这个方程组，得出$a,b$的表达后，进行同类项的合并，即可得到形函数的表达。

$$ N_1 = \frac{x_2 - x}{x_2 - x1}\\ N_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$

形函数本质上表示该位置处值的权重，当然这个权重值会随着位置发生变化，如果距离“1”处近，那么1位置对于该点的影响权重更大，那么1处形函数值要更大一点。既然表示权重，那么总的权重必定为1，因此两个形函数的和必定为1，形函数图像是单调函数，其图像为：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


N = 20
num = 5
x = np.linspace(0, 1, num)


def n1(en):
    x1, x2 = x[[en, en+1]]
    ex = np.linspace(x1, x2, N)
    return (x2 - ex) / (x2 - x1)


def n2(en):
    x1, x2 = x[[en, en+1]]
    ex = np.linspace(x1, x2, N)
    return (ex - x1) / (x2 - x1)


mycolor = plt.cm.get_cmap("coolwarm", num-1)
fig, ax = plt.subplots()
for en in range(num - 1):
    ax.plot(np.linspace(x[en], x[en+1], N), n1(en), color=mycolor(en))
    ax.plot(np.linspace(x[en], x[en+1], N), n2(en), color=mycolor(en))
ax.plot(x, np.zeros_like(x), color='k', marker='o', linestyle='-.')
ax.spines['left'].set_visible(False)
ax.yaxis.set_visible(False)
plt.show()

上述代码可以绘制出各个单元的形函数，总长度为1，共4个单元，每一个的单元长度为0.25。

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