在变分法（或者也叫泛函分析）中，我们更为关心的可能并非泛函本身的性质（事实上也挺重要的，只不过这里我们只想用它求解 PDE，对他并不感兴趣），前述的变分计算使得我们认识到，求泛函极值问题（也称为变分问题）可以转化为微分方程，通过对微分方程的求解，从而完成确定泛函极值的问题。这一方式指出了一个很有价值的结论，即（初）边值问题在一定条件下存在着一个与其描述的物理意义一致的、等效的泛函。具体一点可以这样说：边值问题研究的是，物理场在空间域边界上满足一定的条件，让我们去确定空间域内部一点处场函数的值，当然不是让我们随意地去确定，这里要按照一定地物理规律，比如达西定律（渗流问题）、傅里叶定律（温度）等等，边值问题是物理场问题的数学表达；这一问题它的解等价于在边界条件、空间域不变的情况下，方程对应泛函取得极值时的场函数。从目前的已学的知识来看，为了求解 PDE，先寻找它对应的等效泛函（积分形式），然后对泛函极值问题进行求解，最后的解就是这个 PDE 的解答，这样的方法至少从思路上来看是可行的，至于要付出多少代价，后面变分法部分再来确定。

先问有没有！再说怎么样

既然要研究 PDE 对应的等效积分形式 (泛函)，那么在寻找求解方法之前，一个重要问题就是到底存在不存？这个问题需要依据微分方程算子的正定自伴随性质来回答。

正定自伴随算子

若设一个 PDE 方程为：

$$ Lu = f $$

其中：$L$ 为算子，是一个泛指，例如拉普拉斯算子等，$u$ 是物理场的场函数，$f$ 是一个函数。

如果 PDE 满足这个条件：

$$ <Lu, f> = <u, Lf> $$

其中：<> 表示内积，即函数的内积。这个条件具体指，算子 $L$ 作用下的函数 $u$ 与函数 $f$ 的内积等于，函数 $u$ 与算子 $L$ 作用下的函数 $f$ 的内积。

如果满足这个条件，那么算子 $L$ 就是自伴随的。

正定性是这样描述的；在空间域中，如果场函数 $u\neq 0$，并且有

$$ <Lu,f> > 0 $$

也就是说，上述的函数内积的值是大于 0，那么这个算子 $L$ 就称为正定算子。PDE 的性质受到算子 $L$ 强烈的影响。如果 PDE 同时满足上述两个条件，那么就称这个算子是正定自伴随的，且该 PDE 一定存在一个对应的等效泛函！注意！这只是一个充分条件。不是正定自伴随的也可能存在对应的等效泛函，但是只要是正定自伴随的就一定会存在对应的等效泛函。

example

算子 $L = - \nabla ^2 = -\frac {\partial ^ 2}{\partial x^2} - \frac {\partial ^ 2}{\partial y^2}$ 是不是正定自伴随的算子？

这个算子就是最为常见的二维的拉普拉斯算子。为了确定其是否为正定自伴随的，依据上述的两个定义进行确定。

$$ <Lu, f> = - \int_S f \nabla ^ 2 u \mathrm {d} S\\ 通过高斯恒等式 \oint_l \frac {\partial u}{\partial n} \mathrm {d} l = \int_S \nabla u \nabla f \mathrm {d} S + \int_S f \nabla ^ 2 u \mathrm {d} S \quad 得到 \\ <Lu, f> = \int_S \nabla u \nabla f \mathrm {d} S - \oint_l f \frac {\partial u}{\partial n} \mathrm {d} l $$

然后构造 $<u, Lf>$ 内积，同样利用高斯定理，可以得到一样的形式，即是自伴随的。正定性依据内积也可以很容易得到确定，所以拉普拉斯算子是一个正定自伴随的，那么它作用的 PDE 一定存在一个对应的泛函（积分形式）。

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