欧拉-伯努利梁
beam是一种工程中十分常见、也十分重要的一种结构构件，通常它被这样认为，其厚度（宽度）与长度（亦称为跨度）相比远远小于，并且在使用中主要承受横向荷载，主要变形是发生弯曲行为，因为在这种横向荷载下，梁沿着纵向的内力或者位移基本可以忽略，所以研究描述beam行为的状态量，不应当选择为沿着轴线方向的位移！但是，由于几何上的方便性，沿着长度方向建立坐标轴很方便描述集合特性，这使得$x$坐标与$y$方向的位移无法直接建立联系。一般对于忽略掉轴向变形的beam，通常采用纵向位移$v$和转角$\phi$来描述，欧拉伯努利中引入了曲率与弯矩关系，将$x$坐标与横向位移$v$相联系，用于建立beam的变形控制方程。
假设
由于涉及到力以及弯矩的受力分析，应当先确定出正方向，依据如下的设定：
- 转角、弯矩均以逆时针方向为正。
- 竖直向上为$y$的正方向。
控制方程建立
这里不去论证平截面假设的合理性，只要明白平截面假设在纯弯曲时是严格满足的，在横向荷载作用下，这一假设会产生一定的误差。
依据竖向力的平衡，得到：
$$ V - (V + dV) - q(x) \mathrm{d}x = 0\\ q(x) = - \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}x} $$
对微元体右侧节点取距，得到：
$$ -V \mathrm{d}x + M+\mathrm{d}M - M + \frac{1}{2} \mathrm{d}x q(x) \mathrm{d}x = 0\\ -V + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} + \frac{1}{2} q(x) \mathrm{d}x = 0\\ \mathrm{d}x \rightarrow 0: V = \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} $$
以上的两个结论，在材料力学以及结构力学都有交代，这并没有什么特殊的。欧拉-伯努利理论的核心是通过曲率与弯矩的关系引入，来建立竖向位移与$x$坐标之间的关系的。$\rho$表示曲线的曲率半径。
$$ \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E I} $$
由于梁的变形或者说是弯曲程度并不是很大，这类似于弹性力学中的小变形假设，那么当曲率较小时，曲线上一点处切线与水平方向的夹角之间存在近似关系,$\tan \phi = \phi = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x}$。
得到：
$$ \frac{\mathrm{d} ^ 2 v}{\mathrm{d}x^2} = \frac{M}{E I} $$
由此表示出弯矩$M$
$$ M = \frac{\mathrm{d} ^ 2 v}{\mathrm{d}x ^ 2} E I $$
带入到弯矩与剪力的关系式，以及剪力与横向荷载之间的关系式，得到
$$ \frac{\mathrm{d} ^ 2}{\mathrm{d}x ^ 2}(E I \frac{\mathrm{d} ^ 2 v}{\mathrm{d}x ^ 2}) = - q(x) $$
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